Perturbation of Eigenvalues of Matrix Pencils and Optimal Assignment Problem

We consider a matrix pencil whose coefficients depend on a positive parameter ǫ, and have asymptotic equivalents of the form aǫ when ǫ goes to zero, where the leading coefficient a is complex, and the leading exponent A is real. We show that the asymptotic equivalent of every eigenvalue of the pencil can be determined generically from the asymptotic equivalents of the coefficients of the pencil. The generic leading exponents of the eigenvalues are the “eigenvalues” of a min-plus matrix pencil. The leading coefficients of the eigenvalues are the eigenvalues of auxiliary matrix pencils, constructed from certain optimal assignment problems. Perturbation de valeurs propres de faisceaux matriciels et problème d’affectation optimale Résumé.Nous considérons un faisceau matriciel dont les coefficients, dépendant d’un paramètre ǫ, ont des équivalents asymptotiques de la forme aǫ, lorsque ǫ tend vers zéro par valeurs positives, le coefficient dominant a étant complexe et l’exposant dominant A étant réel. Nous montrons qu’un équivalent asymptotique pour chacune des valeurs propres du faisceau peut être déterminé génériquement à partir des équivalents des coefficients du faisceau. Les exposants dominants des valeurs propres sont les valeurs propres d’un faisceau matriciel min-plus, et les coefficients dominants sont les valeurs propres de faisceaux auxiliaires, construits au moyen de problèmes d’affectation optimale. Abridged French version Nous considérons un faisceau matriciel Aǫ = Aǫ,0 + XAǫ,1 + · · · + X Aǫ,d, où X est une indéterminée, et où pour tout 0 ≤ k ≤ d, Aǫ,k est une matrice n × n dont les coefficients, (Aǫ,k)ij , sont des fonctions continues à valeurs complexes d’un paramètre positif ǫ. On s’intéresse au comportement asymptotique, lorsque ǫ tend vers 0, des valeurs propres Lǫ de Aǫ, qui sont par définition les racines du polynôme det(Aǫ). Nous supposons que pour tout 0 ≤ k ≤ d, on a des matrices ak = ((ak)ij) ∈ C n×n et Ak = ((Ak)ij) ∈ (R ∪ {+∞}) n×n telles que (Aǫ,k)ij = (ak)ijǫ (Ak)ij + o(ǫkij ), pour 1 ≤ i, j ≤ n. Lorsque (Ak)ij = +∞, cela signifie, par convention, que (Aǫ,k)ij est nulle au voisinage de 0. Nous cherchons un équivalent Date: February 23, 2004. 2000 Mathematics Subject Classification. Primary 47A55. Secondary 47A75, 15A22, 05C50, 12K10.